اپتيک جسم متحرک

قوانين پايه اي اين مبحث در معادلات ميداني ماکسول خلاصه شده اند، و لورنتز از قبل پي برده بود که اين معادلات در مورد فضاي خالي در تبديلات لورنتز ناوردايند. معادلات ميداني دقيق ناورداها رابراي جسمهاي متحرک مينکوفسکي (1957) تدوين کرد. اختلاف معادلات اخير با دستورهاي نظريه الکتروني لورنتز فقط در جمله هاي فرعي است که از طريق مشاهده قابل تشخيص نيستند، ولي با اين با خودکشاني جزئي مروبط به قطبي شدن دي الکتريکي وجه مشترک دارند و از اين رو کليه فرايندهاي الکترومغناطيسي و اپتيکي مربوط به جسمهاي متحرک را در انطباق کامل با مشاهدات، توجيه مي کنند. در اين جا آزمايشهاي رونتگن، ايشنوالد و ويلسون را به ياد مي آوريم، ولي نمي خواهيم راجع به آنها صحبت کنيم، چون اين بحث مستلزم محاسبات مفصل رياضياتي است. اما اپتيک جسم متحرک به صورتي کاملاً مقدماتي قابل بررسي است، و ما مي خواهيم اين موضوع را به عنوان زيباترين کاربرد نظريه اينشتين در اين جا بيان کنيم.
در اين نظريه اتر وجود ندارد، فقط جسمهاي متحرک نسبت به يکديگر هستند. و اينکه همه فرايندهايي که در آنها منبع منير و جسم منور و ناظر هر سه باهم در يک دستگاه لخت ساکنند، در کليه دستگاهاي لخت به صورت يکسان روي مي دهند، از ديدگاه نظريه نسبيت اينشتين يک امر طبيعي است. پس توجيه آزمايش مايکلسون نيز به اين ترتيب آسان است، چون ريشه قضيه در واقع همين آزمايش بوده است. پس بحث اکنون بر سر اين است که آيا پديده هايي که در ضمن حرکتهاي نسبي منبع نور براي ملاء منور و ناظر ظاهر مي شوند، به وسيله نظريه مزبور درست منعکس خواهند شد.
يک موج نور را در يک جسم مادي در نظر مي گيريم، به طوري که اين جسم در يک دستگاه مرجع ساکن S ساکن باشد؛ فرض مي کنيم که ( =n عدد شکست) سرعت و v تعداد نوسان (بسامد) اين موج باشد، مضافاً اينکه نسبت به دستگاه S در امتداد محور x حرکت کند. اينک مي پرسيم، يک ناظر ساکن در دستگاه 'S که با سرعت v به موازات امتداد x مربوط به دستگاه S حرکت مي کند، در مورد اين سه شاخص موج چگونه قضاوت مي کند.
تبديلات لورنتز را به جاي تبديلات گاليله مبنا قرار مي دهيم. در آن جا نشان داديم که عدد موج

يک ناوردا است، چون اين شمار موجهايي است که نقطه را در لحظه زماني t_0 ترک مي کنند و در لحظه زماني به نقطه مي رسند. اين ناوردا اکنون براي تبديلات لورنتز نيز طبعاً صدق مي کند. از اين رو خواهيم داشت:

به طوري که v' ,v و به ترتيب بسامدها و سرعتهاي موج را نسبت به دستگاه هاي S و 'S نمايش مي دهند. چنانچه عبارتهايي را که از تبديل لورنتز براي 'x و 't به دست آمد، در سمت راست تساوي اخير منظور مي کنيم، نتيجه مي شود:

که در آن:

منظور شده است. اينک قطار موج را در يک لحظه زماني ثابت در نظر مي گيريم، يعني را در تساوي قرار داده طرفين تساوي را بر تقسيم مي کنيم، سپس نتيجه مي شود:
[1a]

همين قطار موج را در ضمن عبور از يک نقطه ثابت به تصور مي آوريم، يعني
بعد طرفين تساوي را اين بار بر تقسيم مي کنيم، نتيجه مي شود:
[1b]

اينک از تقسيم تساوي [1b] بر [1a] به دست مي آيد:

دستور اخير درست مطابق است با قضيه جمع سرعت هاي اينشتين در مورد حرکت طولي [دستور

به اين ترتيب که در آن به جاي و به جاي منظور گردد. پس همان قاعده اي که براي محاسبه سرعت جسم مادي نسبت به دستگاههاي مرجع مختلف صدق مي کند، عيناً نيز در مورد سرعت نور به کار بستني است.
چنانچه معادله اخير را بر حسب حل کنند، دستور با خودکشاني دقيق به دست مي آيد:

اينک اگر از جمله هاي بالاتر از مرتبه ی دوم بر حسب صرف نظر شود، قانون مزبور با دستور با خودکشاني فرنل يکسان خواهد شد، چون در اين محاسبه تقريبي مي توان نوشت:

پس

و اگر آخرين جمله از مرتبه دوم را نيز کنار گذارند و تساوي را در نتيجه منظور کنند، به دست مي آيد:

اين درست همان دستور با خودکشاني فرنل است.
دومين دستور[1] اصل دوپلر را نمايش مي دهد. اين دستور معمولاً در مورد خلاء به کار مي رود، يعني قرار داده مي شود. آنگاه تساوي نيز از قضيه جمع سرعتها نتيجه مي شود. به اين ترتيب از دومين دستور [1] دستور زير به دست مي آيد :
[1c]

اما مي دانيم که ، پس مي توان نوشت:

پس در نهايت به اين نتيجه مي رسيم که دستور دقيق در مورد اثر دوپلر به صورت متقارن
[2]

در مي آيد، و اين امر وضع سرعت را در دستگاه هاي مرجع S و 'S روشن مي کند.
هرگاه β^2 در [1c] ناديده گرفته شود، در مواردي که کوچک باشد، دستور معمولي را براي اثر دوپلر به دست مي آوريم:

دستور دوپلر [2] را با استفاده از تصوير کوانتومي نور نيز مي توان استخراج کرد. انرژي کوانتومهاي نور در دو دستگاه را که عبارتند از ، در معادله قرار مي دهيم، و دستور نظير دستور [2] حاصل مي شود.
دستور[2] در مورد سرعتهاي بالا از صورت سنتي تجاوز مي کند. اين اختلاف به صورت آشکار هنگامي بروز مي کند که راستاي انتشار نور بر راستاي سرعت نسبي v منطبق نبوده باشد، خاصه اگر اين دو عمود بر يکديگر قرار گيرند. اينک به اعتقاد نظريه سنتي، اثر دوپلر در چنين حالتي ظاهر نمي شود، حال آنکه نظريه نسبيت ظهور اين اثر را الزامي مي داند. از اين رو اصطلاح جديد اثر نسبيتي به ميان مي آيد که به نام اثر عرضي دوپلر معروف است. اثر عرضي را مانند اثر طولي معمولي مي توان محاسبه کرد:
سرعت نسبي v موجود بين S و 'S را مانند گذشته در امتداد مشترک محورهاي x و 'x در نظر مي گيريم، ولي انتشار نور را عمود بر اين امتداد، مثلاً به موازات محور 'y. اما اين بدان معنا نيست که موازي با محور y نيز بوده باشد.
در حالي که فاصله آغاز قطار موج نور در لحظه زماني 〖t'〗_0 تا پايان آن در لحظه زماني 〖t'〗_1 در دستگه 'S به اندازه ديده مي شود، اين فاصله در دستگاه S به اندازه نيست و به نيز بستگي دارد، مثلا به صورت است. از اين جا به دستور ناوردايي فازها مي رسيم:

اينک باید تبديلات لورنتز را به کار بريم، يا را. اگر اگر معادله دوم را به کار بريم و و قرار دهيم، و بدين نحو تصريح کرده باشيم که آزمايش در دستگاه 'S در يک محل ثابت انجام مي شود، محاسبه پيچيده خواهد شد، زيرا که در اين صورت بايد اندازه a را بشناسيم. اما اگر از معادله اول استفاده کنيم و قرار دهيم، به آساني به دست مي آوريم:

پس ناظري که با سرعت v نسبت به دستگه S حرکت مي کند و منبع نوري را که با بسامد v نور مي فرستد، عمود بر v مي يند، بسامد تغيير يافته اي را اندازه مي گيرد که بالغ است بر:

و کوچکتر است ازv. اين همان اثر عرضي دوپلر است. به طوري که از حاصل استخراج برمي آيد، اثر مزبور ارتباط بسيار نزديک با انبساط زمان دارد: . اين تساوي تصريح مي کند که تعداد تک تک هاي ساعت براي همه ناظرها يکسان است.
اثر عرضي دوپلر را حتي در آزمايشگاه مشاهده کرده اند، و اين در ضمن آزمايش پرتوهاي کانال پيش آمد که سرعت و راستاي کاملاً مشخص داشته اند (ايوس (1) و استيلول (2) 1938)؛ اونينگ (3) 1939). مشکل اندازه گيريهاي مزبور در اين بود که، اگر ستمگيري مشاهده کمي از امتداد عمودي منحرف مي گشت، اثر طولي دوپلر نيز به يک اندازه وارد مي شد. اين مشکل بر اساس اين توجه برطرف شد که اثر طولي براي دو پرتو نوري که در جهتهاي مخالف از پرتو کانال صادر مي شوند، مساوي و در دو جهت مخالف است. چنانچه هر دو پرتو نور با هم مشاهده شوند و ميانگين اندازه گيري به حساب آيد، اثر طولي از محاسبه حذف مي گردد. بدين ترتيب بود که اثر عرضي شناسايي شد و بر همين اساس انبساط زمان از راه کاملاً مستقيم اثبات گشت. (4)
به منظور بررسي کجراهي نور، از قضيه جمع سرعتها استفاده مي کنيم. فرض مي کنيم که نور در دستگاه 'S در امتداد y حرکت کند، پس خواهد بود. از اين دستورهاي تبديل ، سرعت در دستگاه S به دست مي آيد:

به همين سبب امتداد نور در S عمودي نيست و کمي نسبت به امتداد x مايل است. در نخستين وهله به آساني مي بينيم که سرعت دستگاه S نيز c است. چون است. نسبت مؤلفه ها مطابقت دارد با تعريف قديمي ثابت کجراهي d / l(ش. 1). l در آن جا طول بازوي دوربين بود و d جابه جايي دوربين بر اثر حرکت زمين (در مدتي که نور مسير خود را در بازوي دوربين طي مي کند) .پس داريم:
از یک دستگاه مختصات وارونه استفاده می کنیم. در S’ که با سرعت v نسبت به زمین حرکت می کند و در آن ستاره ثابت ساکن است، نور در راستای y’ حرکت می کند. مؤلفه های سرعت نور را در دستگاه S که در آن زمین ساکن است، نمایش می دهند.

دستور کجراهي را همچنين بر اساس فرض کوانتومي نور مي توانيم استخراج کنيم: در امتداد y است) مؤلفه هاي اندازه حرکت نور را در 'S معرفي مي کنند. اندازه حرکت p در S داراي دو مؤلفه است، به طوري که p از قضيه فيثاغورس به دست مي آيد: . اين دو مؤلفه را بر طبق دستور تبديلات محاسبه مي کنيم :

دستور کجراهي از نسبت که با نسبت قبلا مذکور برابر است، به دست مي آيد.
هرگاه ناديده گرفته شود، دستور کجراهي دقيق به صورت دستور ساده ابتدايي در مي آيد:

اين نتيجه نهايي بخصوص قابل توجه است، زيرا که کليه نظريه هاي اتر در توجيه پديده کجراهي سخت دچار مشکل خواهند شد. با کمک تبديل گاليله هيچ نوع انحراف سطح موج با امتداد موج به دست نمي آيد، و به منظور توضيح کجراهي، بايد از مفهوم «پرتو» استفاده شود که در حرکت دستگاه ها به انطباق با امتداد انتشار نياز ندارد. ولي اين امر در نظريه اينشتين ضرورت پيدا نمي کند. امتداد پرتو، يعني انتقال انرژي، در هر دستگاه لخت S روي امتداد قائم بر سطح مو ج مي افتد، و با اين وصف کجراهي به يک طرز ساده مانند اثر دوپلر به دست مي آيد، همچنين عدد با خود کشاني فرنل با کمک تبديل لورنتز از مفهوم موج حاصل مي شود.
اين استخراج قوانين پايه اي اپتيک جسم متحرک برتري نظيه نسبيت اينشتين را نسبت به کليه ديگر نظريه ها به نحوي برجسته نمايان مي کند.

جهان مطلق مينکوفسکي

ماهيت حرکت شناسي نو مبتني است بر اصل جداناپذيري فضا و زمان. جهان يک گوناگوني چهار بعدي است که عنصر اوليه آن را نقطه جهان تشکيل مي دهد. فضا و زمان عبارتند از صورتهاي ترتيبي نقطه هاي جهاني، و اين ترتيب تا يک حد معين جنبه اختياري دارد. مينکوفسکي اين جهانبيني را در قالب عبارت زير بيان کرده بود: «از اين ساعت فضا و زمان هر يک مستقل براي خود بايست به دست فراموشي سپرده شوند و استقلال را نوعي اتحاد از اين دو بايست حفظ کند.» و خود با گسترش دادن حرکت شناسي به صورت فضاي چهاربعدي، به محتواي عبارت مزبور قطعيت دارد. ما در اين ميان از وجه توصيفي او استفاده کرده ايم، منتها به يک صورت ساده که محورهاي y و z را کنار گذاشتيم و فقط در سطح xt عمل کرديم. چنانچه اينک از ديدگاه رياضي به هندسه سطح xt نظر افکنيم، ملاحظه خواهيم کرد که موضوع هندسه اقليدسي معمولي در ميان نيست. چون در هندسه اقليدسي، کليه خطهاي راست عبوري از مبدأ در واقع هم ارزند، به اين معنا که يکاي طول بر امتداد همه اين خطها يکسان است، به نحوي که منحني معيار صورت يک دايره را پيدا مي کند (ش. 2). ولي در سطح xt، خطهاي راست فضاگونه و زمان گونه هم ارز نيستند، براي هر يک از
آنها يک يکاي طول جداگانه صدق مي کند، ومنحني معيار به صورت يک هذلولي است:

در سطح اقليدسي، تعداد بينهايت خط راست از يک نقطه صفر O مي تواند عبور کند، خطهايي که در واقع بر اثر دوران از يکديگر جدا مي شوند. در سطح xt نيز به تعداد بينهايت دستگاه هاي مختصات هم ارز وجود دارند که در آنها هر يک از محورها را در محدوده يک حوزه زاويه اي، به دلخواه مي توان انتخاب کرد.
در هندسه اقليدسي فاصله S يک نقطه P با مختصات x، y از نقطه صفر، در برابر چرخش دستگاه مختصات ناوردا است، طول s بر طبق قضيه فيثاغورس به وسيله ی دستور

نمايش داده مي شود (ش.2)، بدين نحو که در هر دستگاهي، مثلاً در دستگاه 'x'y، طول s به وسيله نمايان مي شود؛ منحني معيار هم با s=1 نمايش داده مي شود، s يا s^2 را مي توان به عنوان ناورداي اصلي هندسه اقليدسي تلقي کرد.
ناورداي اصلي در سطح xt عبارت است از:
F=x^2 - c^2 t^2
و منحني معيار است.
اينک مينکوفسکي احساس مي کند که در اين جا نوعي توازي وجود دارد که بر ساختار رياضياتي جهان چهار بعدي (مآلا بر سطح xt) پرتو مي افکند. مثلا اگر قرار داده شود، محققاً تساوي زير به دست مي آيد:

اينک اين تساوي را به عنوان ناورداي اصلي s2 در يک هندسه اقليدسي با مختصات متعامد x,u مي توان تلقي کرد.
ترديدي نيست که در حوزه اعداد معمولي، از مقدار منحني
نمي توان حذر گرفت، منظور u خود معناي واقعي ندارد. ولي براي رياضيات تازگي ندارد که چابک و تردست بر دشواريها چيره شود. عدد «انگاري» از زمان گوس در قلمرو رياضيات اهليت يافت. تعليل دقيق آموزش اعداد انگاري از حدود بحث ما خارج است. اين اعداد در واقع «انگاري تر» از عدد کسري فرضاً 2/3 نيستند، چون اعدادي که براي شمارش به کار مي روند، در حقيقت فقط از اعداد طبيعي، يعني از اعداد صحيح 4،3،2،1... تشکيل ي شوند. 2 را به 3 نمي توان تقسيم کرد، پس 2/3 درست مانند يک عمل غيرقابل اجرا است. کسرهاي نظير 2/3 به معناي گسترش مفهوم رشته اعداد طيعي است که در مدرسه و از طريق عادي براي هر کس روان و فراموش ناشدني مي گردد. مشابه همين گسترش نيز در مورد اعداد انگاري وجود دارد که براي هر رياضيداني به همين نحو عادي و روان است، درست مانند حساب اعداد کسري. کليه دستورهايي که اعداد انگاري را در بردارند، عيناً از يک معناي دقيق برخوردارند، نظير دستورهايي که از اعداد معمولي «حقيقي» تشکيل شده اند، و در نهايت همه نتايجي که از اعداد انگاري به دست مي آيند، به همين نحو قطعيت دارند.
اينک اگر علامت را در مورد استفاده قرار دهيم، مي توانيم بنويسيم :
u=ict.
بنابراين، هندسه غيراقليدسي سطح xt از لحاظ صوري با هندسه اقليدسي در سطح xu همسان است، منتها با اين توجه که فقط زمانهاي حقيقي t با اندازه هاي انگاري u مطابقت دارند.
اينک اين قضيه براي برخورد با نظريه نسبيت داراي محاسن غيرقابل وصف است. چون مطلب در ضمن غالب عمليات و محاسبات به حقيقت مقادير مورد نظر ربط ندارد، بلکه بيشتر به ارتباطهاي جبريي مربوط مي شود که بين مقادير وجود دارند و در مورد اعداد انگاري نيز مانند در مورد اعداد حقيقي صدق مي کنند. از اين رو قوانين شناخته شده از هندسه اقليدسي را مي توان به چهار بعدي انتقال داد. مينکوفسکي جاي
x y z ict
را به
x y z u
مي دهد و سپس با اين چهار مختصات به طرزي کاملاً قرينه عمل مي کند. آنگاه ناورداي اصلي به طور معلوم خواهد شد:

بدين نحو مقام خاص زمان از کليه دستورها ناپديد مي شود، به طوري که بر ميزان سهولت و وضوح محاسبات بسيار افزوده مي گردد. سپس در تيجه نهايي بايد ict را به جاي u قرار داد، در ضمن اين توجه که فقط آن دسته از معادلات فيزيکي معنا پيدا مي کنند که صرفاً از اعداد حقيقي تشکيل شده باشند.
اما روشن است که در سطح xt، زمان t با بعد طولي x به هيچ وجه قابل تعويض نيست. خطهاي نور X و Y در حکم سدهاي غيرقابل عبور خطهاي جهاني زمان گونه را از خطهاي جهاني فضاگونه جدا مي سازند. پس تبديل مينکوفسکي به صورت استفاده از u = ict فقط در حد يک لِمّ رياضي است، به منظور آنکه تشابه صوري معين بين مختصات فضا و زمان برجسته و چشمگير شود، البته بدون اينکه اختلاطي بين آنها راه يابد.
از اين پس براي مقدار

اصطلاح «دوري چهار بعدي» را به کار خواهيم برد، ولي با علم به اين که از اين اصطلاح معناي مجازي آن مستفاد مي شود. معناي واقعي s، بر طبق توضيحاتي که قبلاً در خصوص ناورداي F داده ايم، به آساني قابل فهم است. چنانچه بررسي را در سطح xt محدود کنيم، نتيجه مي شود:

اينک F براي هر خط جهاني فضاگونه مثبت است، يعني s به صورت جذر يک عدد مثبت، يک مقدار حقيقي را نمايش مي دهد؛ آنگاه از طريق انتخاب يک دستگاه s مناسب، نقطه جهاني x, t را مي توان با نقطه صفر مزبور همزمان کرد. به اين ترتيب، t = 0 مي شود، و فاصله فضايي نقطه جهاني از نقطه صفر.
F براي هر خط جهاني زمان گونه منفي است، يعني s انگاري است؛ اينک دستگاه مختصاتي وجود دارد که در آن x = 0 است، يعني خواهيم داشت

پس s در اين حالت معناي روشني دارد و به صورت يک مقدار قابل اندازه گيري تلقي مي شود.
در اين جا بحث مربوط به نظريه نسبيت خاص اينشتين پايان مي دهيم. حاصل اين نظريه را مي توان تقريباً چنين خلاصه کرد.
نه فقط قوانين مکانيک، بلکه همه فرايندهاي طبيعت، خاصه پديده هاي الکترومغناطيسي، در تعداد بينهايت دستگاه مرجعي که نسبت به يکديگر حرکت يکنواخت مستقيم الخط دارند و دستگاه هاي لخت ناميده مي شوند، کاملاً همسان حکم مي کنند. هرگاه طولها و زمانها به وسيله خطکشها و ساعتهاي از لحاظ فيزيکي يکسان در هر يک از دستگاههاي مذکور اندازه گرفته شوند، نتيجه اندازه گيري يک طول يا يک زمان مشخص از يک دستگاه به دستگاه ديگر فرق مي کند، ولي اين اندازه ها از طريق تبديلات لورنتز با يکديگر پيوند دارند.
دستگاه هاي مرجعي که با شتاب نسبت به دستگاه هاي لخت حرکت مي کنند، درست مانند در مکانيک، با دستگاه هاي لخت هم ارز نيستند. چنانچه قوانين طبيعت را به اين گونه دستگاه هاي شتابدار منسوب کنند، قوانين مزبور به نحوي ديگر حکم خواهند کرد. در مکانيک نيروهاي گريز پديد مي آيند، درالکتروديناميک يک رشته تأثيرات مشابه، به صورتي که بررسي آنها ما را از مسيرمان بسيار دور خواهد کرد. پس نظريه نسبيت خاص اينشتين فضاي مطلق نيوتوني را به معناي محدود رد نمي کند. اين نظريه فقط آن حالتهايي را که مکانيک از عصر نيوتون دارا بوده است، براي سراسر فيزکي متضمن الکتروديناميک در يک حد معين پديدار مي کند. پس آن مسائل پرعمق مربوط به فضاي مطلق که قبلاً براي ما دردسر ايجاد کرده بود، هنوز حل نشده است.

پي‌نوشت‌ها:

1.Ives
2. Stilwell
3. Otting
4. اثر عرضي دوپلر در سالهاي اخير با کمک اثر موس باور(Mossbauer) (رجوع شود به ص. 385) به دقت اندازه گرفته شده، بر يک صفحه به سرعت در گردش (با زمان دور T)، فرستنده s که موسوم به اشعه موس باور در مرکز، و گيرنده E در فاصله r از مرکز تعبيه شد، به طوري که سرعت E نسبت به S در امتداد عمود بر sE = r به اندازه = v بود. اين آزمايش درست مطابق با دستور مذکور در فوق، يک جابه جايي مضاعف بسامد تشديد متعلق به E نشان داد.

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.